高等數(shù)學(xué)空間解析幾何.doc

高等數(shù)學(xué)空間解析幾何,2012年1月考研數(shù)學(xué)一/研政治試題及答案解析
空間解析幾何例、表格
平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)
曲線(xiàn)：



例求下類(lèi)平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)
曲線(xiàn)相應(yīng)于的一段
心形線(xiàn)的全長(zhǎng)
擺線(xiàn)的一拱
解：

























向變力沿直線(xiàn)作功液體的水壓力





空間解析幾何
向量及其線(xiàn)性運(yùn)算—
向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算—

向量的數(shù)量積的向量積
向量積

性質(zhì)：

應(yīng)用：





例、習(xí)題，選擇題
填空題



例、設(shè)
解：
∴



向量積


右手定則
即
性質(zhì)注意




應(yīng)用

如
即利用向量積求出同時(shí)垂直兩個(gè)已知矢量的矢量。



例、習(xí)題，，



例、設(shè)知量滿(mǎn)足，則
解：∴



平面及其方程
已知平面過(guò)點(diǎn)、、，為的法矢量。
點(diǎn)法式：
++一般式：
，、、不全為零。
截距式：，，，分別為平面在軸、軸、軸上的截距。
⊥⊥
∥∥
點(diǎn)、、到平面
的距離為






例、習(xí)題
求通過(guò)點(diǎn)，且垂直于平面++的平面方程。
解：，已知平面的法矢量

取
所求平面為：
++即：



+例、習(xí)題、
解：解法一：設(shè)平面方程：
++將點(diǎn)，分別代入得
∴平面方程為：è
解法二：，
取
?+得平面方程：è
設(shè)平面方程為++即
∴得∴








直線(xiàn)及其方程
空間直線(xiàn)的一般方程
：
點(diǎn)向式對(duì)稱(chēng)式
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)、、，為方向向量
則：
參數(shù)式：為參數(shù)
∥∥
⊥⊥



直線(xiàn)與平面關(guān)系
∥π⊥即
⊥π∥
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，的方向向量，為上一點(diǎn)




例、習(xí)題、、
解直線(xiàn)即所求平面法向量
由點(diǎn)法式??br>++即è

+設(shè)平面方程為，
得
點(diǎn)代入平面，得：
所求平面




平面束方程
直線(xiàn)：
則
為過(guò)直線(xiàn)的除平面外的平面束方程


例一平面過(guò)直線(xiàn)：，且在軸有截距，求它的方程
解：過(guò)直線(xiàn)的平面束方程為
即
據(jù)題意
代入平面束方程，得：










習(xí)題
例已知兩直線(xiàn)方程
，則過(guò)且平行的平面方程是
解：
過(guò)的平面束方程：
即
由平行∴得
所求方程為：



例已知平面直線(xiàn)

直線(xiàn)和平面是否平行？
如直線(xiàn)與平面平行，則求直線(xiàn)與平面的距離，如不平行，則求與的交點(diǎn)。
求過(guò)直線(xiàn)且與平面垂直的平面方程